On the limit in law and fluctuations of certain dynamic interaction models
Sur la limite en loi et les fluctuations de certains modèles dynamiques d'interaction
Abstract
First, a variational principle is used to give a characterization of the Gibbs measure of thermodynamical system, then a spin system with mean field interactions (namely, the Curie-Weiss model) is studied. Considering the empirical probability measures, a law of large numbers for the equilibria is proved, as the number of spins tends to infinity, and an explicit computation of the critical temperature for the phase transition is given. A law of large numbers for interacting diffusion processes, which generalizes the dynamical Curie-Weiss model, and a result dealing with the fluctuation process in the non-critical case, are given.
Après avoir caractérisé la mesure de Gibbs d'un système thermo-dynamique, à l'aide d'un principe variationnel, nous nous intéressons à un sustème de spins avec des interactions de type champ moyen (modèle de Curie-Weiss). Nous prouvons une loi des grands nombres pour les équilibres, lorsque le nombre de spins tend vers l'infini, en considérant les probabilités empiriques, et calculons explicitement la température critique pour les transitions de phases. Nous donnons une loi des grands nombres pour des systèmes de diffusions avec interactions, dont le modèle de Curie-Weiss dynamique n'est qu'un cas particulier, et énonçons un résultat concernant le processus de fluctuations dans le cas non-critique.
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